Question

【題目】已知橢圓： 左焦點，左頂點，橢圓上一點滿足軸，且點在軸下方， 連線與左準線交于點，過點任意引一直線與橢圓交于，連結交于點，若實數滿足： ， .

（1）求的值；

（2）求證：點在一定直線上.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：

(1)由題意結合直線AB的方程為，結合向量平行的充要條件比較系數可得

(2)設點， ， ，聯立直線與橢圓的方程，結合韋達定理有， 結合(1)的結論可得，則點在定直線上.

試題解析：

（1）因為，由軸，由對稱軸不妨設，則直線

又左準線，所以，

又，所以

同理：由，得：

又，所以

又，比較系數得： ，所以

（2）證明：設點， ，

由，得，

代入橢圓方程，得： ，

整理得：

顯然，所以

同理：由，得： ，

代入橢圓方程，得：

同理可得：

又由（1），所以

整理得：

即點在定直線上.