Question

【題目】已知橢圓C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F1、F2 ， 橢圓C過點P（1， ），直線PF1交y軸于Q，且 =2 ，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設M是橢圓C的上頂點，過點M分別作直線MA，MB交橢圓C于A，B兩點，設這兩條直線的斜率分別為k1 ， k2 ， 且k1+k2=2，證明：直線AB過定點．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵橢圓C過點 ，∴ ①，

∵ =2 ，∴PF2⊥F1F2，則c=1，

∴a2﹣b2=1，②

由①②得a2=2，b2=1，

∴橢圓C的方程為

（2）解：當直線AB的斜率不存在時，設A（x0，y0），則B（x0，﹣y0），由k1+k2=2得 ，得x0=﹣1．

當直線AB的斜率存在時，設AB的方程為y=kx+m（m≠1），A（x1，y1），B（x2，y2）， ，

得 ，

∴ ，

即 ，

由m≠1，（1﹣k）（m+1）=﹣kmk=m+1，

即y=kx+m=（m+1）x+mm（x+1）=y﹣x，

故直線AB過定點（﹣1，﹣1）

【解析】（1）由橢圓C過點 ，可得 ，由 =2 ，可得PF2⊥F1F2 ， 可得c=1，及其a2﹣b2=1，聯立解出即可得出．（2）對直線AB的斜率分類討論：當直線AB的斜率不存在時，利用k1+k2=2，及其斜率計算公式即可得出．當直線AB的斜率存在時，設AB的方程為y=kx+m（m≠1），A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直線方程與橢圓方程聯立化為關于x的一元二次方程，利用根與系數的關系、斜率計算公式即可得出．