Question

【題目】已知函數，.

（1）若對時，不等式恒成立，求實數a的取值范圍（e為自然對數的底數）；

（2）當時，求函數的極大值；

（3）求證：當時，曲線與直線有且僅有一個公共點.

Answer 1

【答案】（1）（2）0（3）見解析

【解析】

（1）因為，，所以不等式，構造函數，即在上單調遞增，所以在恒成立，參變分離即可求出參數的取值范圍；

（2）當時，，求出函數的導數即可得到函數的單調性，從而得到函數的極值；

（3）令，利用導數證明函數的零點個數，即可得證.

解：（1）因為，，

所以不等式恒成立等價于.

令，因為時，不等式恒成立，

所以函數在上單調遞增，

所以在恒成立，

即在恒成立，而，

所以，即，

所以實數a的取值范圍為.

（2）當時，，

則（），

令，恒成立，

所以函數在上單調遞減，

又因為，

所以在上，在上，

所以函數在上單調遞增，在上單調遞減，

所以函數的極大值為.

（3）令，

則

因為，，

所以恒成立，

所以函數在上單調遞增，

而，，

因為，，，

所以，

因為函數在上有且僅有一個零點，

所以當時，曲線與直線有且只有一個公共點.