Question

【題目】已知函數f（x）=ax﹣lnx，a∈R．
（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若a=e2 ， 當x∈（0，e]時，求函數f（x）的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=a﹣ = （x＞0），①當a≤0時，由于x＞0，故ax﹣1＜0，f'（x）＜0，
所以，f（x）的單調遞減區間為（0，+∞），
②當a＞0時，由f'（x）=0，得x= ，
在區間（0， ）上，f'（x）＜0，在區間（ ，+∞）上，f'（x）＞0，
所以，函數f（x）的單調遞減區間為（0， ），
單調遞增區間為（ ，+∞），
綜上，當a≤0時，f（x）的單調遞減區間為（0，+∞）；
當a＞0時，函數f（x）的單調遞減區間為（0， ），單調遞增區間為（ ，+∞）；
（Ⅱ）a=e2時，f（x）=e2x﹣lnx，f′（x）= （e2x﹣1），（x＞0），
∵e2＞0，由（Ⅰ）得：
f（x）在（0， ）遞減，在（ ，+∞）遞增，
∴f（x）min=f（ ）=3．
【解析】（Ⅰ）由此根據a≤0，a＞0進行分類討論，結合導數性質求出當a≤0時，f（x）的單調遞減區間為（0，+∞）；當a＞0時，函數f（x）的單調遞減區間為（0， ），單調遞增區間為（ ，+∞）；（Ⅱ）求出函數的導數，得到f（x）的單調區間，求出f（x）的最小值即可．
【考點精析】掌握利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數是解答本題的根本，需要知道一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．