Question

設定義在D上的兩個函數f（x）、g（x），其值域依次是[a，b]和[c，d]，有下列4個命題：
①若a＞d，則對任意x₁、x₂∈D，f（x₁）＞g（x₂）恒成立；②若存在x₁、x₂∈D，使f（x₁）＞g（x₂）成立，則必有a＞d；③若對任意x∈D，f（x）＞g（x）恒成立，則必有a＞d；④若a＞d，則對任意x∈D，f（x）＞g（x）恒成立．其中正確的命題是

 

（請寫出所有正確命題的序號）．

Answer 1

分析：①若a＞d，則對任意x₁、x₂∈D，則有f（x）的函數值都比g（x）的函數值大，②存在x₁、x₂∈D，使f（x₁）＞g（x₂）成立，舉反例，例如：[a，b]=[1，4]，[c，d]=[2，5]，③舉反例f（x）=x，g（x）=sinx，D=[

π

4

，

π

3

]④同①，

解答：解：①若a＞d，則對任意x₁、x₂∈D，則有f（x）的函數值都比g（x）的函數值大，即f（x₁）＞g（x₂）恒成立，①正確
②存在x₁、x₂∈D，使f（x₁）＞g（x₂）成立，例如：[a，b]=[1，4]，[c，d]=[2，5]，且f（x₁）=3，g（x₂）=2，此時a＜d．②錯誤
③f（x）=x，g（x）=sinx，D=[

π

4

，

π

3

]此時f（x）＞g（x）恒成立，但[a，b]=[

π

4

，

π

3

]，[c，d]=[

2

2

，

3

2

]
而a=

π

4

＜

3

2

=d，③錯誤
④同①，故④正確
故答案為：①④

點評：本題主要考查了抽象函數的定義域與值域的判定，要求考生熟練掌握常見的基本初等函數的性質，并能進行一定的推理、論證．