Question

設V是全體平面向量構成的集合．若映射f：V→R滿足：對任意向量a=（x₁，y₁）∈V，b=（x₂，y₂）∈V，以及任意λ∈R，均有f（λa+（1-λ）b）=λf（a）+（1-λ）f（b），則稱映射f具有性質P．現給出如下映射：
①f₁：V→R，f₁（m）=x+y+1，m=（x，y）∈V；
②f₂：V→R，f₂（m）=x-y，m=（x，y）∈V；
③f₃：V→R，f₃（m）=x²+y，m=（x，y）∈V．
其中，具有性質P的映射的序號為

（2）

．（寫出所有具有性質P的映射的序號）

Answer 1

分析：求出兩個向量的和的坐標；分別對三個函數求f[λ a+（1-λ） b]與λf（ a）+（1-λ）f（ b）的值，判斷哪個函數具有f[λ a+（1-λ） b]=λf（ a）+（1-λ）f（ b）即可．

解答：解：設 a=（x₁，y₁），b=（x₂，y₂），則λ a+（1-λ） b=（λx₁+（1-λ）x₂，λy₁+（1-λ）y₂），
對于①，f[λa+（1-λ）b]=λx₁+（1-λ）x₂+λy₁+（1-λ）y₂+1=λ（x₁+y₁）+（1-λ）（x₂+y₂）+1
而λf（ a）+（1-λ）f（ b）=λ（x₁+y₁+1）+（1-λ）（x₂+y₂+1）═λ（x₁+y₁）+（1-λ）（x₂+y₂）+1，
f₁滿足性質p；
對于②，f[λ a+（1-λ） b]=λx₁+（1-λ）x₂-λy₁-（1-λ）y₂=λ（x₁-y₁）+（1-λ）（x₂-y₂）
而λf（ a）+（1-λ）f（ b）=λ（x₁-y₁）+（1-λ）（x₂-y₂），f₂滿足性質P
對于③，f₂（λa+（1-λb））=[λx₁+（1-λ）x₂]²+[λy₁+（1-λ）y₂]，λf₂（a）+（1-λ）f₂（b）=λ（x₁²+y₁）+（1-λ）（x₂²+y²）
∴f₂（λa+（1-λb））≠λf₂（a）+（1-λ）f₂（b），∴映射f₃不具備性質P．
故答案為：①②

點評：本題考查理解題中的新定義、考查利用映射的法則求出相應的像．