Question

（1）設

a

，

b

，是兩個非零向量，如果(

a

-3

b

)⊥(7

a

+5

b

)，且(

a

+4

b

)⊥(7

a

+2

b

)，求向量

a

與

b

的夾角大��；
（2）用向量方法證明：設平面上A，B，C，D四點滿足條件AD⊥BC，BD⊥AC，則AB⊥CD．

Answer 1

分析：（1））由已知可得，7

a

2-16

a

•

b

-15

b

2=0，7

a

2+30

a

•

b

+8

b

2=0，整理可得

b

2=-2

a

•

b

，
將

b

2=-2

a

•

b

代回原式可得

a

2=-2

a

•

b

，根據向量的夾角公式可求
（2）由AD⊥BC，可得

AD

•

BC

=

AD

•(

AC

-

AB

)=0，同理可得

AC

•

BD

=

AC

•(

AD

-

AB

)=0
要證AB⊥CD即證即

CD

•

AB

=0

解答：解：（1）因為(

a

-3

b

)⊥(7

a

+5

b

)，所以7

a

2-16

a

•

b

-15

b

2=0，
因為(

a

+4

b

)⊥(7

a

+2

b

)，所以7

a

2+30

a

•

b

+8

b

2=0，（2分）
兩式相減得46

a

•

b

+23

b

2=0，于是

b

2=-2

a

•

b

，
將

b

2=-2

a

•

b

代回任一式得

a

2=-2

a

•

b

，（6分）
設與的夾角為θ，則cosθ=

a • b

| a || b |

=-

1

2

，
所以與的夾角大小為120°．（8分）
（2）因AD⊥BC，所以

AD

•

BC

=

AD

•(

AC

-

AB

)=0，
因BD⊥AC，所以

AC

•

BD

=

AC

•(

AD

-

AB

)=0，（12分）
于是

AD

•

AC

=

AD

•

AB

，

AC

•

AD

=

AC

•

AB

，
所以

AD

•

AB

=

AC

•

AB

，(

AD

-

AC

)•

AB

=0，（14分）
即

CD

•

AB

=0，所以

CD

⊥

AB

，即AB⊥CD．（16分）

點評：本題主要考查了平面向量的數量積的性質：若

a

⊥

b

?

a

•

b

=0的應用，要證明線段垂直只要證明對應的向量的數量積為0即可，而若知道向量垂直，則可得向量的數量積為0