Question

【題目】圓，直線.

（1）證明：不論取什么數，直線與圓恒交于兩點；

（2）求直線被圓截得的線段的最短長度，并求此時的值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）先由直線的方程得到定點坐標，再判斷出在圓內，即可得出結論；

（2）由（1）可得，過點的所有弦中，弦心距，因此當取最大值時，弦長最短，求出弦長，再由，即可求出結果.

（1）因為直線的方程可化為，

所以過直線與的交點.

又因為點到圓心的距離，

所以點在圓內，所以過點的直線與圓恒交于兩點．

（2）由（1）可知：過點的所有弦中，弦心距，

因為弦心距、半弦長和半徑構成直角三角形，

所以當時，半弦長的平方的最小值為，

所以弦長的最小值為.

此時，.

因為，所以，解得，

所以當時，得到最短弦長為.