Question

【題目】已知函數.

（1）當時，求函數的單調區間；

（2）若函數有兩個極值點，且，求證；

（3）設，對于任意時，總存在，使成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）遞增區間為和,遞減區間為.（2）見解析（3）

【解析】分析：（1）求出，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（2）在上有兩個不等的實根,由韋達定理及對數的運算法則可得，只需利用導數證明即可；（3）只需成立即可.化簡得,，所以在遞增，，利用在上恒成立可得結果.

詳解：(1)

時,,

令或,令,

所以的遞增區間為和,遞減區間為.

(2)由于有兩個極值點,

則在上有兩個不等的實根,

設，

所以

所以在上遞減，所以即.

(3)由題意知：只需成立即可. 因為,

所以，因為，所以，而，

所以，所以在遞增，

當時，.

所以在上恒成立，

令，則在上恒成立，

，又

當時，,在遞減,當時，,

所以，所以；

當即時，

①即時，在上遞增，

存在，使得，不合；

②即時，，在遞減,

當時，,所以，

所以綜上, 實數的取值范圍為.