Question

已知在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB₁⊥A₁C，D為AB的中點，且AB=4，AC=BC=3．
（1）求二面角A₁-CD-B₁的平面角的余弦值；
（2）求四面體CDA₁B₁與直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積比．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,與二面角有關的立體幾何綜合題

專題：綜合題,空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）建立坐標系，求出平面A₁CD的法向量、平面B₁CD的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角A₁-CD-B₁的平面角的余弦值；
（2）利用VC-DA1B1=V_柱-VA1-ACD-VB1-DCB-VC-A1B1C1，即可求四面體CDA₁B₁與直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積比．

解答： 解：（1）如圖，過D作DD₁∥AA₁，交A₁B₁于D₁，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，由已知得DB，DC，DD₁兩兩垂直，以D為原點，射線DB，DC，DD₁，分別為x，y，z軸建立坐標系，設高為h，則A（-2，0，0），A₁（-2，0，h），B₁（2，0，h），C（0，

5

，0），從而

AB1

=（4，0，h），

A1C

=（2，

5

，-h），
∴

AB1

•

A1C

=8-h²=0，∴h=2

2

．
故

DA1

=（-2，0，2

2

），

DB1

=（2，0，2

2

），

DC

=（0，

5

，0）．
設平面A₁CD的法向量為

m

=（x，y，z），則

5 y=0 -2x+2 2 z=0

，∴取

m

=（

2

，0，1）．
同理可得平面B₁CD的法向量為

n

=（

2

，0，-1），
∴cos＜

m

，

n

＞=

1

3

；
（2）∵AC=BC，D為AB的中點，
∴CD⊥AB，
∴CD=

BC2-BD2

=

5

．
由（1）得AA₁=2

2

，∴VA1-ACD=

1

3

×

1

2

×S△ADC×AA1=

1

6

V柱；
同理VB1-DCB=

1

6

V柱，VC-A1B1C1=

1

3

V柱，
∴VC-DA1B1=V_柱-VA1-ACD-VB1-DCB-VC-A1B1C1=

1

3

V柱，
∴四面體CDA₁B₁與直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積比是

1

3

．

點評：本題考查面面角，考查錐體體積的計算，考查向量知識的運用，正確求出法向量是關鍵．