Question

Answer 1

,

解：（Ⅰ）由題意可知，
　　　　令　，則　
　　　　又，則數列是首項為，公比為的等比數列，即
　　　　，故，
又，
故
　　　
（Ⅲ）解法一：由（Ⅱ）知：當時，有。
令，有
當時，。
令，有
即，
將上述個不等式一次相加得

整理得

解法二：用數學歸納法證明
（１）  當時，左邊，右邊，不等式成立
（２）  假設時，　不等式成立，　就是　
　　　　
　　　那么
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　由（Ⅱ）知：當時，有
令，有
令，得：


就是說，當時，不等式也成立。
根據（1）和（2），可知不等式對任何都成立。

（Ⅱ）用反證法證明
假設數列存在三項按某種順序成等差數列，由于數列是首項為，公比為的等比數列，于是有，則只有可能有 成立


由于，所以上式左邊為奇數，右邊為偶數，故上上式不可能成立，導致矛盾。故數列中任意三項不可能成等差數列。