Question

【題目】已知函數f（x）＝ex﹣lnx+ax（a∈R）．

（1）當a＝﹣e+1時，求函數f（x）的單調區間；

（2）當a≥﹣1時，求證：f（x）＞0．

Answer 1

【答案】（1）當x∈（0，1）時，f（x）單調遞減；當x∈（1，+∞）時，f（x）單調遞增（2）證明見解析

【解析】

（1）求導得到，根據導數的正負得到函數的單調區間.

（2）求導得到判斷h（x）在（0，+∞）上單調遞增，，使函數f（x）在（0，x0）上單調遞減，在（x0，+∞）上單調遞增，代入計算得到證明.

（1）f（x）＝ex﹣lnx+（﹣e+1）x；令，得x＝1；

當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；

當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；

（2）證明：當a＝﹣1時，f（x）＝ex﹣lnx﹣x（x＞0）；

令，則；

∴h（x）在（0，+∞）上單調遞增；

又，h（1）＝e﹣2＞0；

∴，使得，即；

∴函數f（x）在（0，x0）上單調遞減，在（x0，+∞）上單調遞增；

∴函數f（x）的最小值為；

又函數是單調減函數；

∴f（x0）＞1+1﹣ln1﹣1＝1＞0，即ex﹣lnx﹣x＞0恒成立；

又ex＞x＞lnx；∴ex﹣lnx＞0；又a≥﹣1，x＞0；∴ax≥﹣x；

∴f（x）＝ex﹣lnx+ax≥ex﹣lnx﹣x＞0，得證．