Question

【題目】已知函數（，為常數）在內有兩個極值點，（）

（1）求實數的取值范圍；

（2）求證：.

Answer 1

【答案】(1) (2)見證明

【解析】

（1）推導出x＞0，f′（x）＝，設h（x）＝ex﹣1﹣ax，x＞0，則y＝h（x）在（0，2）上存在兩個零點，由h′（x）＝ex﹣1﹣a，由此能求出實數a的取值范圍；

（2）令H（x）＝h（x）﹣h（2+2lna﹣x），0＜x＜1+lna，則H′（x）＝h′（x）+h′（2+2lna﹣x）0，從而H（x）在（0，1+lna）上遞增，進而H（x）＜H（1+lna）＝0，由此能證明＜2（1+lna）．

解：（1）由，可得，

記，有題意，知在上存在兩個零點.

則

當時，，則在上遞增，至少有一個零點，不合題意；

當時，由，得

（i）若且，即時，在上遞減，遞增；

則，則，

從而在和上各有一個零點。

所以在上存在兩個零點.

（ii）若，即時，在上遞減，至多一個零點，舍去.

（iii）若且，即時，此時在上有一個零點，而在上沒有零點，舍去.

綜上可得，.

（2）令則

，

，

，

所以，在上遞減，從而，

即

而，且在遞增；

，

.