Question

已知橢圓：的短軸長(zhǎng)為，且斜率為的直線過橢圓的焦點(diǎn)及點(diǎn)．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線過橢圓的左焦點(diǎn)，交橢圓于點(diǎn)P、Q.
（ⅰ）若滿足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求的面積；
（ⅱ）若直線與兩坐標(biāo)軸都不垂直，點(diǎn)在軸上，且使為的一條角平分線，則稱點(diǎn)為橢圓的“特征點(diǎn)”，求橢圓的特征點(diǎn)．

Answer 1

（1）；（2）（ⅰ）2，（ⅱ）

試題分析：（1）由短軸長(zhǎng)得，由焦點(diǎn)和點(diǎn)可算出斜率為，可以得到焦點(diǎn)坐標(biāo)，所以可以得橢圓的方程。（2）（ⅰ）由向量的數(shù)量積公式及三角形面積公式可得出結(jié)果。（ⅱ）設(shè)直線的方程，但是不需要求的方程，通過與橢圓聯(lián)立方程組進(jìn)行求解。
試題解析：（1）由題意可知，直線的方程為，         1分
∵直線過橢圓的焦點(diǎn)，∴該焦點(diǎn)坐標(biāo)為∴    2分
又橢圓的短軸長(zhǎng)為，∴，∴   3分
∴橢圓的方程為   4分
（2）（ⅰ）∵
∴   6分
∴    8分
（ⅱ）設(shè)特征點(diǎn)，左焦點(diǎn)為，可設(shè)直線PQ的方程為，
由消去得
設(shè)，則
     10分
∵為的一條角平分線，
∴，即          12分
又，，代入上式可得

∴，解得
∴橢圓C的特征點(diǎn)為．                     14分