Question

已知△ABC的周長為12，頂點A，B的坐標(biāo)分別為(－2,0)，(2,0)，C為動點．
(1)求動點C的軌跡E的方程；
(2)過原點作兩條關(guān)于y軸對稱的直線(不與坐標(biāo)軸重合)，使它們分別與曲線E交于兩點，求四點所對應(yīng)的四邊形的面積的最大值．

Answer 1

（1）＋＝1(x≠±4)
（2）16

(1)由題意知|CA|＋|CB|＝12－4＝8>|AB|，所以C的軌跡E為橢圓的一部分．
由a＝4，c＝2，可得b²＝12．
故曲線E的方程為＋＝1(x≠±4)．
(2)設(shè)兩直線的方程為y＝kx與y＝－kx(k>0)．記y＝kx與曲線E在第一象限內(nèi)的交點為(x₀，y₀)，由，可得x₀²＝．
結(jié)合圖形的對稱性可知：四交點對應(yīng)的四邊形為矩形，且其面積S＝2x₀·2y₀＝4kx₀²＝．
因為k>0，所以S＝≤＝16 (當(dāng)且僅當(dāng)k＝時取等號)．故四邊形面積的最大值為16．