Question

附加題：（二選一，請將解題過程解答在相應的框內，答錯位置不給分；多答按第一問給分，不重復給分）
（1）已知a，b，c＞0，且a²+b²=c²，求證：aⁿ+bⁿ＜cⁿ（n≥3，n∈R⁺）
（2）已知x，y，z＞0，則

x2+y2+xy

+

y2+z2+yz

＞

z2+x2+xz

．

Answer 1

分析：（1）利用指數函數y=a^x當0＜a＜1時單調遞減即可證明；
（2）利用余弦定理和三角形的兩邊之和大于第三邊即可證明．

解答：證明：（1）∵a²+b²=c²，且a，b，c＞0，∴(

a

c

)2+(

b

c

)2=1，
∴0＜

a

c

＜1，0＜

b

c

＜1．
∴當n≥3時，(

a

c

)n＜(

a

c

)2，(

b

c

)n＜(

b

c

)2，
∴(

a

c

)n+(

b

c

)n＜(

a

c

)2+(

b

c

)2=1，
∴aⁿ+bⁿ＜cⁿ．
（2）作∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，設|OA|=x，|OB|=y，|OC|=z．
由余弦定理得|AB|=

x2+y2-2xycos120°

=

x2+y2+xy

，
同理|BC|=

y2+z2+yz

，|AC|=

x2+z2+xz

．
根據三角形的兩邊之和大于第三邊可得：
|AB|+|BC|＞|AC|，
∴

x2+y2+xy

+

y2+z2+yz

＞

z2+x2+xz

．

點評：熟練掌握指數函數的單調性、余弦定理、三角形兩邊之和大于第三邊的性質是解題的關鍵．