Question

附加題：（二選一，請將解題過程解答在相應的框內，答錯位置不給分；多答按第一問給分，不重復給分）
（1）已知a，b，c＞0，且a²+b²=c²，求證：aⁿ+bⁿ＜cⁿ（n≥3，n∈R⁺）
（2）已知x，y，z＞0，則+＞．

Answer 1

證明：（1）∵a²+b²=c²，且a，b，c＞0，∴，
∴，．
∴當n≥3時，，，
∴，
∴aⁿ+bⁿ＜cⁿ．
（2）作∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，設|OA|=x，|OB|=y，|OC|=z．
由余弦定理得|AB|==，
同理|BC|=，|AC|=．
根據三角形的兩邊之和大于第三邊可得：
|AB|+|BC|＞|AC|，
∴+＞．
分析：（1）利用指數函數y=a^x當0＜a＜1時單調遞減即可證明；
（2）利用余弦定理和三角形的兩邊之和大于第三邊即可證明．
點評：熟練掌握指數函數的單調性、余弦定理、三角形兩邊之和大于第三邊的性質是解題的關鍵．