Question

已知a，b，c∈R，函數f(x)=ax²+bx+c，g(x)=ax+b，當－1≤x≤1時，有|f(x)|≤1。

(1)證明：|c|≤1;

(2)證明：當－1≤x≤1時，|g(x)|≤2;

(3)設a>0，－1≤x≤1時，g(x)的最大值為2，求f(x)的解析式。

Answer 1

答案：
解析：

(1)證明：∵－1≤x≤1時，有|f(x)|≤1 ∴當x=0時，有f(0)=c 即|c|=|f(0)|≤1。 故|c|≤1。 (2)證明：欲證當－1≤x≤1時，有|g(x)|≤2 即證：當－1≤x≤1時，有－2≤g(x)≤2。 對于a進行分類討論。 當a>0時，g(x)在－1≤x≤1上是增函數， ∴a－b≤g(x)≤a+b ∵a+b=f(1)－c≤|f(1)|+|c|≤2， a－b=f(－1)－c≥－(|f(－1)|+|c|)≥－2 ∴－2≤g(x)≤2，即|g(x)|≤2; 當a<0時，g(x)在－1≤x≤1上是減函數， ∴a+b≤g(x)≤a－b ∵a+b=f(1)－c≥－(|f(1)|+|c|)≥－2， a－b=f(－1)－c≤|f(－1)|+|c|≤2， ∴－2≤g(x)≤2，即|g(x)|≤2; 當a=0時，g(x)=b，f(x)=bx+c， ∴|g(x)|=|f(1)－c|≤|f(1)|+|c|≤2; 綜上所述，有|g(x)|≤2。 (3)解：∵a>0， ∴g(x)在－1≤x≤1上是增函數， ∴當x=1時，g(x)取得最大值2，即a+b=2， ∴f(1)－f(0)=a+b=2， ∴－1≤f(0)=f(1)－2≤1－2=－1 即c=f(1)=－1， ∵－1≤x≤1時，f(x)≥－1=f(0) ∴x=0為函數f(x)圖象的對稱軸， ∴b=0，進而a=2 故f(x)=2x2－1。