Question

（2010•永州一模）某種出口產品的關稅稅率t，市場價格x（單位：千元）與市場供應量p（單位：萬件）之間近似滿足關系式：p=2^{（1-kt）（x-b）2}，其中k，b均為常數．當關稅稅率為75%時，若市場價格為5千元，則市場供應量均為1萬元；若市場價格為7千元，則市場供應量約為2萬件．
（1）試確定k、b的值；
（2）市場需求量q（單位：萬件）與市場價格x近似滿足關系式：q=2-x．p=q時，市場價格稱為市場平衡價格．當市場平衡價格不超過4千元時，試確定關稅稅率的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據“關系式：p=2^{（1-kt）（x-b）2}，及市場價格為5千元，則市場供應量均為1萬元；市場價格為7千元，則市場供應量約為2萬件．”，可得到

1=2(1-0.75t)(5-b)2 2=2(1-0.75)(7-b)2

從而求得結果．
（2）當p=q時，可得2^{（1-t）（x-5）2}=2^-x，可求得t=1+

x

(x-5)2

=1+

1

x+ 25 x -10

，由雙勾函數f（x）=x+

25

x

在（0，4]上單調遞減，可知當x=4時，f（x）有最小值．

解答：解：（1）由已知可得：

1=2(1-0.75t)(5-b)2 2=2(1-0.75)(7-b)2

∴

(1-0.75k)(5-b)2=0 (1-0.75k)(7-b)2=1

，
解得：b=5，k=1
（2）當p=q時，2^{（1-t）（x-5）2}=2^-x
∴（1-t）（x-5）²=-x?t=1+

x

(x-5)2

=1+

1

x+ 25 x -10

，
而f（x）=x+

25

x

在（0，4]上單調遞減，∴當x=4時，f（x）有最小值

41

4

，
此時t=1+

1

x+ 25 x -10

取得最大值5；
故當x=4時，關稅稅率的最大值為500%

點評：本題主要考查函數模型的應用，考查了指數方程的解法和雙勾函數最值的求法．