Question

（2010•永州一模）若點P是△ABC的外心，且

PA

+

PB

+λ

PC

=0，∠C=120°，則實數λ的值為

-1

．

Answer 1

分析：如圖所示，利用點P是△ABC的外心，∠C=120°，可得|

PA

|=|

PB

|=|

PC

|=R，∠APB=120°．由于

PA

+

PB

+λ

PC

=

0

，可得

PA

+

PB

=-λ

PC

．
兩邊做數量積可得(

PA

+

PB

)2=λ2

PC

2，展開相比較即可得出λ．

解答：解：如圖所示，∵

PA

+

PB

+λ

PC

=

0

，∴

PA

+

PB

=-λ

PC

．
∴(

PA

+

PB

)2=λ2

PC

2，展開為

PA

2+

PB

2+2|

PA

| |

PB

|cos∠APB=λ2|

PC

|2．
∵點P是△ABC的外心，∠C=120°，∴|

PA

|=|

PB

|=|

PC

|=R，∠APB=120°．
∴2R²-R²=λ²R²，化為λ²=1．
∵

PA

+

PB

+λ

PC

=

0

，∴λ=-1．
故答案為-1．

點評：本題考查了向量的運算和三角形外心的性質等基礎知識與基本方法，屬于基礎題．