Question

設，，其中m是不等于零的常數，
（1）（理）寫出h（4x）的定義域；
（文）m=1時，直接寫出h（x）的值域；
（2）（文、理）求h（x）的單調遞增區間；
（3）已知函數f（x）（x∈[a，b]），定義：f₁（x）=minf（t）|a≤t≤x（x∈[a，b]），f₂（x）=maxf（t）|a≤t≤x（x∈[a，b]）．其中，minf（x）|x∈D表示函數f（x）在D上的最小值，maxf（x）|x∈D表示函數f（x）在D上的最大值．例如：f（x）=cosx，x∈[0，π]，則f₁（x）=cosx，x∈[0，π]，f₂（x）=1，x∈[0，π]．
（理）當m=1時，設，不等式t≤M₁（x）-M₂（x）≤n恒成立，求t，n的取值范圍；
（文）當m=1時，|h₁（x）-h₂（x）|≤n恒成立，求n的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）令4x在h（x）的定義域內，求出x的范圍，寫出區間形式即為h（4x）的定義域．
（2）對m分類討論，利用導函數的符號，當導函數大于0時對應的區間為遞增區間；導函數小于0時，對應的區間為遞減區間；求出函數的單調區間．
（3）通過解不等式，比較出h（x）與h（4x）的大小，求出m（x）的解析式；求出M₁（x），M₂（x）求出M₁（x）-M₂（x）的值域，求出t，n的范圍．
解答：解：理（1）∵，
∴
∴h（4x）的定義域為
（2）
m＜0時，h（x）在遞增；
時，h（x）在遞增
時，h（x）在遞增
（3）由題知：
所以，h（x）＞h（4x）
h（x）=h（4x）
h（x）＜h（4x）






∴
文：（1）
（2）m＜0時，h（x）在遞增
時，h（x）在遞增
時，h（x）在遞增
（3）



所以
點評：本題考查抽象函數的定義域的求法：知f（x）的定義域為[a，b]，求f（mx+n）的定義域只要解不等式a≤mx+n≤b即可、考查研究函數的單調區間時，若含參數一般需要討論．分段函數的處理方法是先分再合的策略．