Question

在△ABC中，∠A=

π

6

，D是BC邊上任意一點（D與B、C不重合），且丨

AB

|²=|

AD

|2+

BD

•

DC

，則∠B=

 

．

Answer 1

分析：做高AE，不妨設E在CD上，設AE=h，CE=x，CD=p，BD=q，則DE=p-x，BE=p+q-x，根據勾股定理可分別表示出AD²和AB²，進而求得的表達式，根據題設等式可知pq=BD•CD，進而化簡整理求得x=

p+q

2

=

BC

2

，推斷出ABC為等腰三角形．進而根據頂角求得B．

解答：解：做高AE，不妨設E在CD上，設AE=h，CE=x，CD=p，BD=q，則DE=p-x，BE=p+q-x，
則AD²=AE²+DE²=h²+（p-x）²，
AB²=AE²+BE²=h²+（p+q-x）²，
AB²-AD²=（p+q-x）²-（p-x）²=q（q+2p-2x），
即pq=BD•CD=q（q+2p-2x），
q≠0，所以 p=q+2p-2x，
x=

p+q

2

=

BC

2

，
即E為BC中點，于是ABC為等腰三角形．
頂角為

π

6

，則底角B=

5π

12

故答案為

5π

12

．

點評：本題主要考查了解三角形問題．解題的關鍵是通過題設條件建立數學模型，考查了學生分析問題和解決問題的能力．