Question

如圖，直三棱柱中， ，  ，是的中點，△是等腰三角形，為的中點，為上一點．

（1）若∥平面，求；
（2）平面將三棱柱分成兩個部分，求較小部分與較大部分的體積之比．

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：本題主要考查線線平行、線面平行、線線垂直、線面垂直、補體法、幾何體的體積公式等基礎知識，考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力、計算能力.第一問，取BC中點，由中位線及平行線間的傳遞性，得到∥∥，即四點共面，利用線面平行的性質，得∥，從而得到E是CN中點，從而得到的值；第二問，利用直三棱柱，得平面，由，利用線面垂直的判定，得平面，利用補體法求幾何體的體積，分別求出較小部分和較大部分的體積，再求比值.
試題解析：取中點為，連結，   1分
∵分別為中點
∴∥∥，
∴四點共面，           3分
且平面平面
又平面，且∥平面
∴∥ 
∵為的中點，
∴是的中點，                                            5分
∴．                                                  6分

（2）因為三棱柱為直三棱柱，∴平面，
又，則平面
設，又三角形是等腰三角形，所以.
如圖，將幾何體補成三棱柱
∴幾何體的體積為：
                                                                    9分
又直三棱柱體積為：               11分
故剩余的幾何體棱臺的體積為：
∴較小部分的體積與較大部分體積之比為：．                    12分