Question

已知平面上的非零向量

OP1

，

OP2

，

OP3

滿足

OP1

+

OP2

+

OP3

=

0

，|

OP1

|=|

OP2

|=1，且cos＜

OP1

，

OP2

＞=-

4

5

，則△P₁P₂P₃的形狀為（　　）

• A、等腰三角形
• B、直角三角形
• C、等腰直角三角形
• D、等邊三角形

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算

專題：解三角形,平面向量及應用

分析：由

OP1

+

OP2

+

OP3

=

0

，再由向量加法的平行四邊形法則，得O為△P₁P₂P₃的重心，又|

OP1

|=|

OP2

|=1，得到OA⊥P₁P₂，且P₁P₃=P₂P₃，運用余弦定理求出P₁P₂，再由勾股定理，求出P₁P₃，再由勾股定理的逆定理得到P₁P₃⊥P₂P₃，從而得到三角形P₁P₂P₃的形狀．

解答： 解：∵

OP1

+

OP2

+

OP3

=

0

，
∴由向量加法的平行四邊形法則，得O為△P₁P₂P₃的重心，
即三條中線的交點，
∴A為中點，P₃A=3OA．
又∵|

OP1

|=|

OP2

|=1，
∴OA⊥P₁P₂，
∴P₁P₃=P₂P₃，
∵cos＜

OP1

，

OP2

＞=-

4

5

，
∴由余弦定理，得，P₁P₂²=1+1-2×（-

4

5

）=

18

5

，
又P₁A²=1-OA²=

1

4

×

18

5

，∴OA²=

1

10

，
P₁P₃²=P₁A²+P₃A²=

9

10

+9×

1

10

=

9

5

，
∵P₁P₃²+P₂P₃²=P₁P₂²，∴P₁P₃⊥P₂P₃，
故三角形P₁P₂P₃是等腰直角三角形．
故選C．

點評：本題考查解三角形的余弦定理和應用，考查平面向量的加法遵循的平行四邊形法則，及三角形的重心和性質，屬于中檔題．