Question

【題目】在四邊形中，已知，，點在軸上，，且對角線．

（1）求點的軌跡的方程；

（2）若點是直線上任意一點，過點作點的軌跡的兩切線，為切點，直線是否恒過一定點？若是，請求出這個定點的坐標；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）．（2）直線恒過定點

【解析】試題分析：（1）設(shè)點 ，則點，利用 ,可得 的坐標，再利用 即可得結(jié)論；（2）對函數(shù) 求導即可得切線的斜率，設(shè)切點 ，可得切線方程為 ，設(shè)點，由于切線過點 ，得 ，設(shè)點，則是方程的兩 個實數(shù)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，再利用中點坐標公式即可點的坐標，求出斜率， 即可得到直線 的方程，可得到定點。

（1）設(shè)點 ，則，∴，．

∵，∴，即．

（2）對函數(shù)求導數(shù)．

設(shè)切點，則過該切點的切線的斜率為，

∴切線方程為．

設(shè)點，由于切線經(jīng)過點，∴．

化為．

設(shè)點，．

則是方程的兩個實數(shù)根，∴，

，設(shè)為中點，∴.

∴

∴點

又∵

∴直線的方程為，即（*）

∴當時，方程（*）恒成立.

∴對任意實數(shù)，直線恒過定點.