Question

【題目】已知橢圓C的中心在原點，焦點F1 ， F2在軸上，焦距為2，離心率為 ．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若P是橢圓C上第一象限內的點，△PF1F2的內切圓的圓心為I，半徑為 ．求：
（i）點P的坐標；
（ii）直線PI的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：設橢圓C的方程為 ，（a＞b＞0），

由題意得 ，

解得a2=4，b2=3，

∴橢圓C的方程為 ．

（2）解：（i）∵|PF1|+|PF2|=4，∴在△PF1F2中，|PF1|+|PF2|+|F1F2|=6，

∴△PF1F2的面積 = （|PF1|+|PF2|+|F1F2|）r= ，

又 = ，

∴ ，由 ，得xP=1，∴P（1， ）．

（ii）∵P（1， ），F1（﹣1，0），∴直線PF1的方程為 = ，

∴3x﹣4y+3=0，

∵△PF1F2的內切圓的半徑為 ，∴設I（ ），

則 = ，

解得 或 （舍）．

∴直線PI的方程為y=2x﹣ ．

【解析】（1）設橢圓C的方程為 ，（a＞b＞0），由焦距為2，離心率為 ，列方程組解得a2=4，b2=3，由此能求出橢圓C的方程．（2）（i）由|PF1|+|PF2|=，得|PF1|+|PF2|+|F1F2|=6，利用△PF1F2的面積能求出P點坐標．（ii）先求出直線PF1的方程，設I（ ），由點到直線的距離公式能求出直線PI的方程．
【考點精析】認真審題，首先需要了解橢圓的標準方程(橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：)．