Question

已知長方形ABCD，AB=3，BC=2，E為BC中點，P為AB上一點
（1）利用向量知識判定點P在什么位置時，∠PED=45⁰；
（2）若∠PED=45⁰，求證：P、D、C、E四點共圓。

Answer 1

(Ⅰ) 點P為靠近點A的AB三等分處  (Ⅱ) 見解析

：(Ⅰ)利用坐標系可以確定點P位置建立平面直角坐標系則C（2，0），D（2，3），E（1，0）設P（0，y）∴ =（1，3），=（-1，y）∴    
·=3y-1代入cos45⁰=解之得（舍），或y=2
∴ 點P為靠近點A的AB三等分處
(Ⅱ)  當∠PED=45⁰時，由（1）知P（0，2） ∴ =（2，1），=（-1，2）
∴·=0∴ ∠DPE=90⁰又∠DCE=90⁰∴ D、P、E、C四點共圓
說明：利用向量處理幾何問題一步要驟為：①建立平面直角坐標系；②設點的坐標；③求出有關向量的坐標；④利用向量的運算計算結果；⑤得到結論。