Question

【題目】設函數的圖象上存在兩點，使得是以為直角頂點的直角三角形（其中為坐標原點），且斜邊的中點恰好在軸上，則實數的取值范圍是______．

Answer 1

【答案】

【解析】

曲線上存在兩點、滿足題設要求，則點、只能在軸兩側．設，，則，運用向量垂直的條件：數量積為0，構造函數，運用導數判斷單調性，求得最值，即可得到的范圍．

解：假設曲線上存在兩點、滿足題設要求，

則點、只能在軸兩側．

不妨設，，

則，

是以為直角頂點的直角三角形，

，

即

若方程有解，存在滿足題設要求的兩點、；

若方程無解，不存在滿足題設要求的兩點、．

若，則代入式得：

即，而此方程無解，因此，此時，

代入式得：，

即

令，

則，

在，上單調遞增，

，

的取值范圍是．

對于，方程總有解，即方程總有解．

故答案為：．