Question

如圖，直三棱柱中，，，D是AC的中點.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求幾何體的體積.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）詳見解析; （Ⅱ）．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用線線平行證明線面平行，抓住直線PD∥B₁A達到證明AB₁∥平面BC₁D；（Ⅱ）采用體積分割技巧，將所求的幾何體轉化為直三棱柱的體積簡單兩個三棱錐的體積.

試題解析：（Ⅰ）連接B₁C交BC₁于點P，連接PD．

由于BB₁C₁C是平行四邊形，所以P為為B₁C的中點

因為D為AC的中點，所以直線PD∥B₁A，

又PDÌ平面B₁CD，B₁AË平面BC₁D，

所以AB₁∥平面BC₁D．                                                                                                 6分

（Ⅱ）直三棱柱ABC－A₁B₁C₁的體積V₁＝×2×2×2＝4．

三棱錐C₁－BDC的體積V₂與三棱錐A₁－BDA的體積V₃相等，

V₂＝V₃＝×××2×2×2＝．

所以幾何體BDA₁B₁C₁的體積V＝V₁－V₂－V₃＝．                                              12分

考點：1.平行關系的證明與判斷；2.幾何體的體積.