Question

已知函數f(x)＝x³－ax²＋(a²－1)x＋b(a，b∈R)，其圖象在點(1，f(1))處的切線方程為x＋y－3＝0.

(1)求a，b的值；

(2)求函數f(x)的單調區間、極值點，并求出f(x)在區間[－2,4]上的最大值．

 

Answer 1

【答案】

(1) a＝1，b＝ (2) f(x)的單調遞增區間是(－∞，0)和(2，＋∞)，單調遞減區間是(0,2)，x＝0和x＝2是f(x)的極值點，在區間[－2,4]上的最大值為8

【解析】

試題分析：(1)f′(x)＝x²－2ax＋a²－1，         1分    

∵(1，f(1))在x＋y－3＝0上，∴f(1)＝2，      2分

∵(1,2)在y＝f(x)上，∴2＝－a＋a²－1＋b，    3分

又f′(1)＝－1，∴a²－2a＋1＝0，        

解得a＝1，b＝.                        4分

(2)∵f(x)＝x³－x²＋，∴f′(x)＝x²－2x，      5分

、、的變化情況表：        表 7分

x	(－∞，0)	0	(0,2)	2	(2，＋∞)
f′(x)	＋	0	－	0	＋
f(x)	?	極大值	?	極小值	?

由f′(x)＝0可知x＝0和x＝2是f(x)的極值點，  （ 8分）

所以f(x)的單調遞增區間是(－∞，0)和(2，＋∞)，單調遞減區間是(0,2)． （9分）

∵f(0)＝，f(2)＝，f(－2)＝－4，f(4)＝8，                 (11分)

∴在區間[－2,4]上的最大值為8.                       12分

考點：函數導數求函數性質

點評：由導數的幾何意義可求切線斜率，導數大于零得增區間，導數小于零得減區間，增減區間分界處取極值，極值點邊界點處可求得函數在某一區間上的最值