Question

已知函數f(x)＝|x＋1|，g(x)＝2|x|＋a.

(1)當a＝0時，解不等式f(x)≥g(x)；

(2)若任意x∈R，f(x)g(x)恒成立，求實數a的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(1)         (2) [1,+∞)

【解析】

試題分析：(1)∵|x＋1|≥2|x|?x²＋2x＋1≥4x²?－≤x≤1，

∴不等式f(x)≥g(x)的解集為.

(2)若任意x∈R， |x＋1|2|x|＋a恒成立，即任意x∈R， |x＋1|－2|x|a恒成立，

令φ(x)＝|x＋1|－2|x|，則a φ(x)_max，

又φ(x)＝

當x≥0時，φ(x)≤1；當－1≤x<0時，－2 ≤φ(x)<1；當x<－1時，φ(x)<－2.

綜上可得：φ(x)≤1，

∴a1，即實數a的取值范圍為[1,+∞)．

考點：帶絕對值的函數；函數的最值及其幾何意義；函數恒成立問題．

點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，求函數的最小值，函數的恒成立問題，屬于中檔題．