Question

一種計算裝置，有一數據入口點A和一個運算出口點B，按照某種運算程序：
①當從A口輸入自然數1時，從B口得到

1

3

，記為f(1)=

1

3

；
②當從A口輸入自然數n（n≥2）時，在B口得到的結果f（n）是前一個結果f（n-1）的

2(n-1)-1

2(n-1)+3

倍；
試問：當從A口分別輸入自然數2，3，4 時，從B口分別得到什么數？試猜想f（n）的關系式，并證明你的結論．

Answer 1

分析：由已知可得，該程序的功能是計算并輸出滿足條件：①a₁=

1

3

②an=an-1

2(n-1)-1

2(n-1)+3

的數列第n項a_n的值．模擬程序的運行過程，依次計算出數列的各項不難給出答案．

解答：解：由已知得f(n)=

2n-3

2n+1

f(n-1)(n≥2，n∈N*)
當n=2時，f(2)=

4-3

4+1

×f(1)=

1

5

×

1

3

=

1

15

，
同理可得f(3)=

1

35

，f(4)=

1

63

---------------------（4分）
猜想f(n)=

1

(2n-1)(2n+1)

&(*)

-------------------（6分）
下面用數學歸納法證明（*）成立
①當n=1，2，3，4時，由上面的計算結果知（*）成立------（8分）
②假設n=k（k≥4，k∈N^*）時，（*）成立，即f(k)=

1

(2k-1)(2k+1)

，
那么當n=k+1時，f(k+1)=

2k-1

2k+3

f(k)=

2k-1

2k+3

•

1

(2k-1)(2k+1)

即f(k+1)=

1

[2(k+1)-1][2(k+1)+1]

∴當n=k+1時，（*）也成立---------------（13分）
綜合①②所述，對?n∈N^*，f(n)=

1

(2n-1)(2n+1)

成立．-----（14分）

點評：算法是新課程中的新增加的內容，也必然是新高考中的一個熱點，應高度重視．程序填空也是重要的考試題型，這種題考試的重點有：①分支的條件②循環的條件③變量的賦值④變量的輸出．其中前兩點考試的概率更大．此種題型的易忽略點是：不能準確理解流程圖的含義而導致錯誤．