Question

如圖，弧AEC是半徑為a的半圓，AC為直徑，點E為弧AC的中點，點B和點C為線段AD的三等分點，平面AEC外一點F滿足FC⊥平面BED，FB=

5

a．
（1）證明：EB⊥FD；
（2）求點B到平面FED的距離．

Answer 1

分析：（1）欲證EB⊥FD，而FD?平面BFD，可先證BE⊥平面BFD，根據直線與平面垂直的判定定理可知只需證BE與平面BFD內兩相交直線垂直，而BE⊥AC，根據線面垂直的性質可知FC⊥BE，又FC、AC?平面BFD，FC∩AC=C，滿足定理所需條件；
（2）利用勾股定理求出FC，根據直角三角形的面積公式求出S_△EBD與S_△EFD，根據等體積法可得

1

3

S_△EBD•FC=

1

3

S_△EFD•h建立方程解之即可求出點B到平面FED的距離．

解答：解：（1）證明：∵點E為弧AC的中點
∴∠ABE=

π

2

，即BE⊥AC
又∵FC⊥平面BED，BE?平面BED
∴FC⊥BE
又∵FC、AC?平面BFD，FC∩AC=C
∴BE⊥平面BFD而FD?平面BFD
∴EB⊥FD
（2）FC=

BF2-BC2

=

5a2-a2

=2a
S_△EBD=

1

2

BE•BD=

1

2

a•2a=a2
在Rt△FBE中，EF=

6

a
而FD=ED=

5

a
∴S_△FED=

1

2

FE•H_EF=

1

2

•

6

a•

5a2-( 6 a 2 )2

=

21

2

a2
由等體積法可知：

1

3

S_△EBD•FC=

1

3

S_△FED•h
解得：h=

4 21

21

a
即點B到平面FED的距離為

4 21

21

a

點評：本題主要考查了線面垂直的判定與性質、以及點到平面的距離的度量和等體積法的應用等有關知識，同時考查了推理能力、計算能力，轉化與劃歸的思想，屬于中檔題．