Question

【題目】對一堆100粒的石子進行如下操作：每次任選石子數大于1的一堆任意分成不空的兩堆，直到每堆1粒（100堆）為止．證明：

（1）無論如何操作，必有某個時刻存在20堆，其石子總數為60；

（2）可以進行適當地操作使得任何時刻不存在19堆，其石子總數為60．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）易知，19步后石子分成20堆，記此以后第步操作后粒數最多的20堆之和為．

顯然，單調不增．

若不存在，則，而．

設中各堆的粒數為，其中，某個分裂成兩堆，重排后得的各堆的粒數為．則．

只有三種可能的重排情形．

（i）若，離開，，則．

（ii）若，離開，，則．

（iii）若，（是第步后粒數僅次于的堆），則．

由于，只能，，，．

但此時，故．

之外的各堆粒數均為1或2，總粒數為為奇數，故必有一堆粒數是1，將其與交換即得第步后有20堆，其石子總數為60．

（2）稱初始堆為“主堆”，每步從中分出3粒，33步后成為33個3粒堆和一個1粒堆．該過程中主堆的粒數始終為模3余1，其他堆為3粒．故任意19堆若不含主堆，石子總數為57，而若含主堆，石子總數為模3余1，也不等于60．

此后無論如何操作，由于每堆不多于3粒，任意19堆的石子總數不多于57，因此，任何時刻均不存在19堆，其石子總數為60．