Question

設Q、G分別為△ABC的外心和重心，已知A（-1，0），B（1，0），QG∥AB．
（1）求點C的軌跡E．
（2）軌跡E與y軸兩個交點分別為A₁，A₂（A₁位于A₂下方）．動點M、N均在軌跡E上，且滿足A₁M⊥A₁N，試問直線A₁N和A₂M交點P是否恒在某條定直線l上？若是，試求出l的方程；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設C（x，y），由A（-1，0），B（1，0），知G(

x

3

，

y

3

)，由Q是外心，且QG∥AB，能求出點C的軌跡E．
（2）由A1(0，-

3

)，A2(0，

3

)，設A₁N的方程為y=kx-

3

，由A₁N⊥A₁M，知A₁M的方程為y=-

1

k

x-

3

，
代入方程x2+

y2

3

=1得（3+k²）x²+2

3

kx=0，由此能夠推導出點P在定直線y=-2

3

上．

解答：解：（1）設C（x，y），
∵A（-1，0），B（1，0），
∴G(

x

3

，

y

3

)…（2分）
又∵Q是外心，且QG∥AB
∴Q(0，

y

3

)…（2分）
∵|QA|=|QC|
∴1+

y2

9

=x2+

4y2

9

，
即x2+

y2

3

=1(y≠0)…（7分）
（2）由（1）可知A1(0，-

3

)，A2(0，

3

)，
設A₁N的方程為y=kx-

3

，∵A₁N⊥A₁M
∴A₁M的方程為y=-

1

k

x-

3

，
代入方程x2+

y2

3

=1得：（3+k²）x²+2

3

kx=0，…（8分）
解得x1=0，x2=

-2 3 k

3k2+1

，…（10分）
代入方程y=-

1

k

x-

3

可得M(

-2 3 k

3k2+1

，

3 -3 3 k2

3k2+1

)…（11分）
∴kA2M=

3 -3 3 k2 3k2+1 - 3

-2 3 k 3k2+1

=3k，
∴A₂M的方程為y=3kx+

3

…（13分）
∴由

y=kx- 3 y=3kx+ 3

⇒P(-

3

k

，-2

3

)
∴點P在定直線y=-2

3

上．…（15分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．