Question

已知x∈R，且f（x+1）=-f（x），則f（x+2）=-f（x+1）=-[-f（x）]=f（x），得f（x）的一個周期為2．類比上述結論，請寫出下列兩個函數的一個周期：
（1）已知a為正常數，x∈R，且f（x+a）=-f（x），則f（x）的一個周期為

 

；
（2）已知a為正常數，x∈R，且f(x+a)=

f(x)-1

f(x)+1

，則f（x）的一個周期為

 

．

Answer 1

分析：（1）根據周期函數的定義，f（x+T）=f（x），T周期，先將f（x+a）=-f（x）轉化成f（x+2a）=-f（x+a）=f（x），根據函數的周期性的定義可知該函數的周期．
（2）根據周期函數的定義，依次計算f（x+na）（n∈N₊）直到等于f（x）為止．

解答：解：（1）∵f（x+a）=-f（x），
∴f（x+2a）=-f（x+a）=f（x）即f（x+2a）=f（x）
∴函數f（x）的周期是2a．
（2）∵f（x+2a）=

f(x+a)-1

1+f(x+a)

=-

1

f(x)

，∴f（x+3a）=

f(2a)-1

1+f(2a)

=

f(x)-1

f(x)+1

，∴f（x+4a）=

f(3a)-1

1+f(3a)

=f（x）；
∴f（x）的周期為4a．
故答案為：2a；4a．

點評：本題考查了類比推理、抽象函數的周期性，利用周期函數的定義求解，一定要抓牢基礎，要求平時學習掌握知識要扎實，靈活，屬于基礎題．