Question

已知x∈R，函數f（x）=ax³+bx²+cx+d在x=0處取得極值，曲線y=f（x）過原點O（0，0）和點P（-1，2）．若曲線y=f（x）在點P處的切線l與直線y=2x的夾角為45°，且直線l的傾斜角θ∈（

π

2

，π），
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數y=f（x）在區間[2m-1，m+1]上是增函數，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）若x₁、x₂∈[-1，1]，求證：f（x₁）-f（x₂）≤4．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據在x=0處取得極值以及過點（0，0）可求出c和d，然后根據曲線y=f（x）在點P處的切線l與直線y=2x的夾角為45°，建立方程求出a和b，從而求出函數的解析式；
（Ⅱ）令f'（x）＞0求出函數f（x）的增區間，使[2m-1，m+1]是增區間的子集，建立不等關系，解之即可；
（Ⅲ）先利用導數求出函數f（x）在[-1，1]上的最大值和最小值，f（x₁）-f（x₂）≤f（x）_max-f（x）_min，從而得到結論．

解答：解（Ⅰ）由已知f'（x）=3ax²+2bx+c∴

f(0)=0 f′(0)=0

?c=d=0∴c=d=0…（2分）
又|

2-f′(-1)

1+2f′(1)

| =1且f'（-1）＜0∴f'（-1）=-3 （舍去f'（-1）=

1

3

）
∴

f(-1)=-a+b=2 f′(-1)=3a-2b=-3

?

a=1 b=3

?f（x）=x³+3x²…（4分）
（Ⅱ）令f'（x）=3x（x+2）＞0?x＞0或x＜-2  即f（x）的增區間為（-∞，-2]、[0，+∞）
∵y=f（x）在區間[2m-1，m+1]上是增函數
∴2m-1＜m+1≤-2或0≤2m-1＜m+1 則m≤-3或

1

2

≤m＜2…（8分）
（Ⅲ）令f'（x）=3x（x+2）=0?x=0或x=-2
∵f（0）=0，f（-1）=2，f（1）=4∴y=f（x）在[-1，1]上的最大值為4，最小值為0…（10分）
∴x₁、x₂∈[-1，1]時，|f（x₁）-f（x₂）|≤4-0=4…（12分）

點評：本題主要考查函數解析式，函數單調性和不等式的證明，從已知條件出發，利用定義、公理、定理、某些已經證明過的不等式及不等式的性質經過一系列的推理、論證等而推導出所要證明的不等式．