Question

已知函數f（x）=

1

3

x³+

1

2

（2-a）x²+（1-a）x（a≥0）．
（I）求f（x）的單調區間；
（II）若f（x）在[0，1]上單調遞增，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求導函數，然后討論a為0時，f（x）在R上單調遞增，然后研究a＞0時求出導數等于0的值，然后根據f'（x）＞0，f'（x）＜0得到函數的單調區間；
（II）討論a，使函數f（x）在[0，1]上單調遞增，求出相應的a的取值范圍．

解答：解：（I）f'（x）=x³+（2-a）x+1-a=（x+1）（x+1-a）
當a=0時，f'（x）=（x+1）²≥0恒成立
當且僅當x=-1時取“=”號，f（x）在R上單調遞增．  …（2分）
當a＞0時，由f'（x）=0，得x₁=-1，x₂=a-1且x₁＜x₂
當x變化時，f'（x）、f（x）的變化如下表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，a-1）	a-1	（a-1，+∞）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）		極大值		極小值

f（x）在（-∞，-1）單調遞增，在（-1，a-1）單調增減，在（a-1，+∞）單調遞增
（II）當a=0時，f（x）在[0，1]上單調遞增，f（x）≥f（0）=1恒成立． …（7分）
當a＞0時，由（I）可知
若0＜a≤1時，則f（x）在[0，1]上單調遞增 …（9分）
若a＞1，則f（x）在[0，a-1]上單調遞減，f（x）在[0，1]上不單調遞增 …（11分）
綜上，a的取值范圍是[0，1]．   …（12分）

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及已知單調區間求參數的范圍，同時考查了計算能力，屬于中檔題．