Question

已知

a

=（1+cosα，sinα），

b

=（1-cosβ，sinβ），

c

=(1，0)，α∈（0，π），β∈（π，2π），向量

a

與

c

夾角為θ₁，向量

b

與

c

夾角為θ₂，且θ₁-θ₂=

π

6

，若△ABC中角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且角A=β-α．
求（Ⅰ）求角A 的大小； 
（Ⅱ）若△ABC的外接圓半徑為4

3

，試求b+c取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)條件求出cosθ1=

a • c

| a |•| c |

= cos

α

2

以及cosθ2=

1-cosβ

(1-cosβ)2+sin2β

=|sin

β

2

|=cos(

β

2

-

π

2

)，再結合θ₁、θ₂為向量夾角即可求出

α

2

=θ1，

β

2

-

π

2

=θ2，進而求出角A 的大小；
（Ⅱ）先根據(jù)正弦定理得到b+c=8

3

(sinB+sinC)=8

3

[sinB+sin(

π

3

-B)]=8

3

sin(B+

π

3

)，再結合B+

π

3

∈(

π

3

，

2π

3

)，即可求出結論．

解答：解：（Ⅰ）據(jù)題設，并注意到α、β的范圍，cosθ1=

a • c

| a |•| c |

= cos

α

2

----------------------（2分）
cosθ2=

1-cosβ

(1-cosβ)2+sin2β

=|sin

β

2

|=cos(

β

2

-

π

2

)，--------------------（4分）
由于θ₁、θ₂為向量夾角，故θ₁、θ₂∈[0，π]，
而

α

2

∈(0，

π

2

)，

β

2

-

π

2

∈(0，

π

2

)，故有

α

2

=θ1，

β

2

-

π

2

=θ2，得A=β-α=

2π

3

．--（7分）
（Ⅱ）由正弦定理

a

sin π 3

=

b

sinB

=

c

sinC

=8

3

，-------（10分）
得b+c=8

3

(sinB+sinC)=8

3

[sinB+sin(

π

3

-B)]=8

3

sin(B+

π

3

)--------（12分）
注意到B+

π

3

∈(

π

3

，

2π

3

)，從而得b+c∈(12，8

3

]．------------------------（14分）

點評：本題主要考查向量的數(shù)量積求向量的夾角以及正弦定理的應用．解決第二問的關鍵在于根據(jù)正弦定理得到b+c=8

3

(sinB+sinC)=8

3

[sinB+sin(

π

3

-B)]=8

3

sin(B+

π

3

)．