Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，左、右焦點分別為F₁，F₂，且｜F₁F₂｜＝2，點P（1，）在橢圓C上.

（I）求橢圓C的方程；
（II）如圖，動直線：與橢圓C有且僅有一個公共點，點M，N是直線l上的兩點，且，，四邊形面積S的求最大值.

Answer 1

（I）；（II）.

試題分析：（I）設出橢圓的方程，根據已知條件列方程組，求出和的值，然后寫出橢圓的標準方程；（II）根據動直線與橢圓的交點個數，聯立方程組求的關系式，再由點到直線的距離公式求得和的代數式，因為四邊形是直角梯形，根據邊的關系求得高的代數式，由梯形的面積公式表示出面積，利用等量代換，化簡的解析式，由函數的單調性與導數的關系判斷函數的單調性，根據單調性求最值.
試題解析：（I）設橢圓的方程為，
由已知可得   ，                            3分
解得，，
∴橢圓的方程為.                   5分
（II）由，得         6分
由直線與橢圓僅有一個公共點知，，
化簡得．      7分
由點到直線的距離公式，可設
，                 8分
∵，
，
∴.
∴四邊形面積.             10分                      

令，，，
當時，，∴在上為減函數，
∴，∴當時，
所以四邊形的面積的最大值為．                    12分