Question

（08年成都七中二模理） 如圖，直四棱柱ABCD―A₁B₁C₁D₁的高為3，底面是邊長為4且∠DAB=60°的菱形，

AC∩BD=O，A₁C₁∩B₁D₁=O₁，E是O₁A的中點.

   （1）求證：平面O₁AC平面O₁BD

   （2）求二面角O₁－BC－D的大小；

   （3）求點E到平面O₁BC的距離.

 

Answer 1

解析：（1）∵ABCD為菱形，∴AC⊥BD，又OO₁//AA₁，AA⊥平面ABCD，

    OO₁⊥平面ABCD，∴BD⊥OO₁，OO₁AC=O，

    ∴BD⊥平面O₁AC，平面O₁BD⊥平面O₁AC……4分

   （2）過O作OF⊥BC于F，連接O₁F，

∵OO₁⊥面AC，∴BC⊥O₁F，

∴∠O₁FO是二面角O₁－BC－D的平面角，

∵OB=2，∠OBF=60°，∴OF=.在Rt△O₁OF在，tan∠O₁FO=

∴∠O₁FO=60° 即二面角O₁―BC―D為60°……8分

（3）在△O₁AC中，OE是△O₁AC的中位線，∴OE∥O₁C

∴OE∥O₁BC，∵BC⊥面O₁OF，∴面O₁BC⊥面O₁OF，交線O₁F.

過O作OH⊥O₁F于H，則OH是點O到面O₁BC的距離，

∴OH=∴點E到面O₁BC的距離等于……12分

  

解法二：（2）∵OO₁⊥平面AC，∴OO₁⊥OA，OO₁⊥OB，

又OA⊥OB，建立如圖所示的空間直角坐標系（如圖）

∵底面ABCD是邊長為4，∠DAB=60°的菱形，

∴OA=2，OB=2，則A（2，0，0），B（0，2，0），

C（－2，0，0），O₁（0，0，3）

設平面O₁BC的法向量為=（x，y，z），

則⊥，⊥，

∴，則z=2，則x=－，y=3，

∴=（－，3，2），

而平面AC的法向量=（0，0，3）∴cos<，>=，

設O₁－BC－D的平面角為α，

∴cosα=∴α=60°. 故二面角O₁－BC－D為60°.

（3）設點E到平面O₁BC的距離為d，

∵E是O₁A的中點，∴=（－，0，），

則d=∴點E到面O₁BC的距離等于。