Question

給出定義：若（其中m為整數），則m叫做離實數x最近的整數，記作{x}=m．在此基礎上給出下列關于函數f（x）=|x-{x}|的四個命題：
①函數y=f（x）的定義域為R，值域為；
②函數y=f（x）的圖象關于直線（k∈Z）對稱；
③函數y=f（x）是周期函數，最小正周期為1；
④函數y=f（x）在上是增函數．
其中正確的命題的序號是（ ）
A．①
B．②③
C．①②③
D．①④

Answer 1

【答案】分析：根據讓函數解析式有意義的原則確定函數的定義域，然后根據解析式易用分析法求出函數的值域；根據f（k-x）與f（-x）的關系，可以判斷函數y=f（x）的圖象是否關于直線（k∈Z）對稱；再判斷f（x+1）=f（x）是否成立，可以判斷③的正誤；而由①的結論，易判斷函數y=f（x）在上的單調性，但要說明④不成立，我們可以舉出一個反例．
解答：①中，令x=m+a，a∈（-，]
∴f（x）=|x-{x}|=|a|∈[0，]
所以①正確；
②中∵f（k-x）=|（k-x）-{k-x}|=|（-x）-{-x}|=f（-x）
所以關于對稱，故②正確；
③中，∵f（x+1）=|（x+1）-{x+1}|=|x-{x}|=f（x）
所以周期為1，故③正確；
④中，x=-時，m=-1，
f（-）=
x=時，m=0，
f（）=
所以f（-）=f（）
所以④錯誤．
故選C
點評：本題考查的知識點是利用函數的三要素、性質判斷命題的真假，我們要根據定義中給出的函數，結合求定義域、值域的方法，及對稱性、周期性和單調性的證明方法，對4個結論進行驗證．