Question

定義在實數集R上的函數f（x），如果存在函數g（x）=Ax+B（A，B為常數）使得f（x）≥g（x）對任意的x∈R都成立，則稱g（x）為函數f（x）的一個承托函數，則下列說法正確的是（　　）

• A、函數f（x）=x²-2x不存在承托函數
• B、g（x）=x為函數f（x）=sinx的一個承托函數
• C、g（x）=x為函數f（x）=e^x-1的一個承托函數
• D、函數f(x)=

  2x

  x2-x+1

  不存在承托函數

Answer 1

分析：函數g（x）=Ax+B（A，B為常數）是函數f（x）的一個承托函數，即說明函數f（x）的圖象恒在函數g（x）的上方（至多有一個交點）A、g（x）=-1是函數f（x）=x²-2x的一個承托函數；故A做；B、舉例可以說明，當x=

π

2

時，可知f（x）＜g（x），可知結論錯誤；C、要說明g（x）=x為函數f（x）=e^x-1的一個承托函數；即證明F（x）=e^x-x-1的圖象恒在x軸上方；④g（x）=-1是函數f(x)=

2x

x2-x+1

的一個承托函數，因此D錯．

解答：解：A、令g（x）=-1，則總有f（x）≥g（x）對任意的x∈R都成立，因此g（x）=-1是函數f（x）=x²-2x的一個承托函數，故A錯；
B、令x=

π

2

，則g（

π

2

）=

π

2

＞f（

π

2

）=1，因此g（x）=x不是函數f（x）=sinx的一個承托函數，故B錯；
C、令F（x）=e^x-x-1，F′（x）=e^x-1=0，得x=0，
當x＜0時，F′（x）＜0，F（x）單調遞減，
當x＞0時，F′（x）＞0，F（x）單調遞增，
∴當x=0時，F（x）取最小值：0，
即F（x）=e^x-x-1≥0恒成立，即f（x）≥g（x）恒成立，故C正確；
D、令g（x）=-1，則f(x)-g(x)=

2x

x2-x+1

+1=f(x)=

x2+x +1

x2-x+1

＞0，
∴總有f（x）≥g（x）對任意的x∈R都成立，因此g（x）=-1是函數f(x)=

2x

x2-x+1

的一個承托函數，故D錯；
故選C．

點評：本題是以抽象函數為承托，考查學生的創新能力，屬中檔題，抽象函數是相對于給出具體解析式的函數來說的，它雖然沒有具體的表達式，但是有一定的對應法則，滿足一定的性質，這種對應法則及函數的相應的性質是解決問題的關鍵．