Question

定義在實數集R上的函數f（x），如果存在函數g（x）=Ax+B（A，B為常數），使得f（x）≥g（x）對一切實數x都成立，那么稱g（x）為函數f（x）的一個承托函數．
下列說法正確的有：

①②

．（寫出所有正確說法的序號）
①對給定的函數f（x），其承托函數可能不存在，也可能有無數個；
②g（x）=ex為函數f（x）=e^x的一個承托函數；
③函數f(x)=

x

x2+x+1

不存在承托函數；
④函數f(x)=

1

5x2-4x+11

，若函數g（x）的圖象恰為f（x）在點p(1，

1

2

)處的切線，則g（x）為函數f（x）的一個承托函數．

Answer 1

分析：①函數g（x）=Ax+B（A，B為常數）是函數f（x）的一個承托函數，即說明函數f（x）的圖象恒在函數g（x）的上方（至多有一個交點）①舉例可以說明，如f（x）=sinx，則g（x）=B（B＜-1）就是它的一個承托函數，且有無數個，再如y=tanx．y=lgx就沒有承托函數；
②要說明g（x）=ex為函數f（x）=e^x的一個承托函數，即證明F（x）=e^x-2x的圖象恒在x軸上方；
③先求函數的值域，從而可知函數有無數個承托函數；
④先求切線方程，再求x=0，1，2時的函數值，即可判斷．

解答：解：①如f（x）=sinx，則g（x）=B（B＜-1）就是它的一個承托函數，且有無數個，
再如y=tanx．y=lgx就沒有承托函數，∴命題①正確；
②令F（x）=e^x-ex，F′（x）=e^x-e=0，得x=1，
當x＜1時，F′（x）＜0，F（x）單調遞減，
當x＞1時，F′（x）＞0，F（x）單調遞增，
∴當x=1時，F（x）取最小值=0，
∴f（x）≥g（x）對一切實數x都成立
∴②正確；
③設函數f(x)=

x

x2+x+1

=y，則yx²+（y-1）x+y=0
若y=0，則x=0，成立
若y≠0，則△≥0，即（y-1）²-4y²≥0且y≠0，
∴（3y-1）（y+1）≤0且y≠0，
∴-1≤y＜0或0＜y≤

1

3

綜上知，-1≤y≤

1

3

∴y=A（A≤-1）就是它的一個承托函數，且有無數個；
∴命題③不正確；
④∵函數f(x)=

1

5x2-4x+11

，
∴f′(x)=

4-10x

(5x2-4x+11)2

∴f′(1)=

4-10

(5 -4+11)2

=-

1

24

∵f(1)=

1

5 -4+11

=

1

12

∴切線方程為：y-

1

12

=-

1

24

(x-1)，即g（x）=-

1

24

x+

1

8

∵f(0)=

1

11

，g(0)=

1

8

，∴f（0）＜g（0）
∵f(1)=

1

12

，g(1)=

1

12

，∴f（1）=g（1）
∵f(2)=

1

23

，g(2)=

1

24

，∴f（2）＞g（2）
∴命題④不正確．
故答案為：①②

點評：本題是新定義題，考查對題意的理解和轉化的能力，要說明一個命題是正確的，必須給出證明，對于存在性命題的探討，只需舉例說明即可，對于不正確的命題，舉反例即可，有一定的綜合性．