Question

已知數列{a_n}中，a₁=3，a₂=5，其前n項和S_n滿足S_n+S_n-2=2S_n-1+2^n-1（n≥3）．令b_n=

1

an•an+1

．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若f（x）=2^x-1，求證：Tn=b₁f（1）+b₂f（2）+…+b_nf（n）＜

1

6

（n≥1）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3）（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂=2ⁿ+1．
（Ⅱ）由于bnf(n)=

1

(2n+1)(2n+1+1)

-2n-1=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)．故T_n=b₁f（1）+b₂f（2）+…+b_nf（n）
=

1

2

[(

1

1+2

-

1

1+22

)+(

1

1+22

-

1

1+23

)+…+(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)]，由此可證明Tn=b₁f（1）+b₂f（2）+…+b_nf（n）＜

1

6

（n≥1）．

解答：解：（Ⅰ）由題意知S_n-S_n-1=S_n-1-S_n-2+2^n-1（n≥3）
即a_n=a_n-1+2^n-1（n≥3）
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₃-a₂）+a₂
=2^n-1+2^n-2+…+2²+5
=2ⁿ+1（n≥3）
檢驗知n=1、2時，結論也成立，故a_n=2ⁿ+1．
（Ⅱ）由于bnf(n)=

1

(2n+1)(2n+1+1)

-2n-1
=

1

2

-

(2n+1+1)-(2n+1)

(2n+1)(2n+1+1)

=

1

2

(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)．
故T_n=b₁f（1）+b₂f（2）+…+b_nf（n）
=

1

2

[(

1

1+2

-

1

1+22

)+(

1

1+22

-

1

1+23

)+…+(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)]
=

1

2

(

1

1+2

-

1

2n+1+1

)  ＜

1

2

-

1

1+2

=

1

6

．

點評：本題考查數列的性質和綜合應用，解題時要認真審題．仔細解答．