Question

【題目】已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點相同，A為橢圓C的右頂點，以A為圓心的圓與直線相交于P， 兩點，且

（Ⅰ）求橢圓C的標準方程和圓A的方程；

（Ⅱ）不過原點的直線與橢圓C交于M、N兩點，已知OM，直線，ON的斜率成等比數列，記以OM、ON為直徑的圓的面積分別為S1、S2，試探究的值是否為定值，若是，求出此值；若不是，說明理由.

Answer 1

【答案】(Ⅰ) , (Ⅱ) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出拋物線的焦點，可得，由可得結合性質 ，求出 、 的值，從而即可得結果；（Ⅱ）設直線的方程為 由可得

，根據韋達定理、弦長公式可得，從而可得結論.

試題解析：(Ⅰ)如圖，設T為PQ的中點，連接AT，則AT⊥PQ，

由已知得,所以

橢圓C的方程為

(Ⅱ)設直線的方程為

由，

由題設知，

則

故為定值，該定值為.