Question

已知函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111918485009766588/SYS201211191849423320331486_ST.files/image002.png">，對于任意的，都有，且當(dāng)時，，若.

（1）求證：為奇函數(shù)；

（2）求證:是上的減函數(shù)；

（3）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.

 

Answer 1

【答案】

見解析。

【解析】本試題主要是考查了函數(shù) 奇偶性和單調(diào)性的綜合運(yùn)用。

（1）運(yùn)用賦值法得到關(guān)于f(x),f(-x)的關(guān)系式，進(jìn)而得到證明。

（2）任取且,

則

又，，得到結(jié)論。

（3）

又為奇函數(shù),

由(2)知是上的減函數(shù),所以當(dāng)時，取得最大值，最大值為，進(jìn)而分析得知。

(1)證明：的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111918485009766588/SYS201211191849423320331486_DA.files/image009.png">,令,則， 令,則，即.

，故為奇函數(shù).   4分

（2）證明：任取且,

則

又，，，

即

故是上的減函數(shù).        8分

（3）解:

又為奇函數(shù),

由(2)知是上的減函數(shù),

所以當(dāng)時，取得最大值，最大值為；

當(dāng)時，取得最小值，最小值為. 11分

所以函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111918485009766588/SYS201211191849423320331486_DA.files/image028.png">.      12分