Question

下列命題中真命題的序號是

 

①函數y=f（-x+2）與y=f（x-2）的圖象關于y軸對稱；
②若（2x-3）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，則a₁+2a₂+3a₃+4a₄=8；
③函數f（x）有f（x）=f（x+1）f（x-1），則f（2013）f（0）=1；
④若f（1-x）=-f（x+1），則函數y=f（x-1）的圖象關于點（2，0）對稱．

Answer 1

分析：①通過平移變換可得到：函數y=f（-x+2）與y=f（x-2）的圖象關于直線x=2對稱，故①不正確；
②對已知等式兩邊求導（2x-3）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，再令x=1即可判斷出結論；
③對f（x）=f（x+1）f（x-1），分別令x=1，2，…，2013，即可得出；
④函數y=f（x-1）的圖象關于點（2，0）對稱?函數y=f（x+1）的圖象關于原點對稱?函數y=f（x+1）是奇函數?f（-x+1）=-f（x+1），由已知即可判斷出．

解答：解：①y=f（x-2）的圖象的圖象是將函數y=f（x）的圖象向右平移2個單位得到，函數y=f（-x+2）的圖象可以看做把函數y=f（x）的圖象先作關于y軸對稱的圖象得y=f（-x），
再將函數y=f（-x）的圖象向右平移2個單位，即可得到函數y=f（-x+2）的圖象．由上面的變換可知：函數y=f（-x+2）與y=f（x-2）的圖象關于直線x=2對稱，故①不正確；
②對（2x-3）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，兩邊求導得8(2x-3)3=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3，令x=1得-8=a₁+2a₂+3a₃+4a₄，可知②不正確；
③∵f（x）=f（x+1）f（x-1），分別令x=1，2，…，2013，則f（1）=f（2）f（0），f（2）=f（3）f（2），…，f（2012）=f（2013）f（2011），相乘可得f（2013）f（0）=1，故③正確；
④∵f（1-x）=-f（x+1），∴函數y=f（x+1）是奇函數，其圖象關于原點對稱，
將函數y=f（x+1）的圖象向右平移兩個單位，得函數y=f（x-1）的圖象，可知此圖象關于點（2，0）對稱，因此④正確．
綜上可知：只有③④正確．
故答案為③④．

點評：正確理解變換及對稱、利用導數求多項式的值是解題的關鍵．