Question

【題目】如圖，四棱錐P-ABCD中， PA⊥平面ABCD，E為BD的中點，G為PD的中點，△DAB≌△DCB，EA=EB=AB=1， ，連接CE并延長交AD于F．

（Ⅰ）求證：AD⊥CG；

（Ⅱ）求平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：（1）根據平幾知識得三角形全等得EF⊥AD，再根據條件PA⊥平面ABCD，得GF⊥AD，根據線面垂直判定定理得AD⊥平面CFG，即得結論，（2）先根據條件建立空間直角坐標系，設立各點坐標，利用方程組解各面法向量，根據向量數量積求向量夾角，最后根據二面角與向量夾角之間關系求結果.

試題解析：（Ⅰ）在△ABD中，因為點E是BD的中點，

∴EA=EB=ED=AB=1，

故

因為△DAB≌△DCB，∴△EAB≌△ECB，

從而有

∴，故EF⊥AD，AF=FD．

又PG=GD，∴FG//PA．又PA⊥平面ABCD，

∴GF⊥AD，故AD⊥平面CFG

又平面CFG，∴AD⊥CF

（Ⅱ）以點A為坐標原點建立如圖所示的坐標系，則

故， ，

．

設平面BCP的法向量，

則，解得，

即

設平面DCP的法向量，

則解得

即．從而平面BCP與平面DCP的夾角的余弦值為