Question

（12分）已知函數為奇函數，為常數，
（1）求實數的值；
（2）證明：函數在區間上單調遞增；
（3）若對于區間上的每一個值，不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

（1）；（3）.

試題分析：(1)根據f(x)為奇函數，所以f(-x)+f(x)=0恒成立，所以

,
所以,經檢驗當a=1時，顯然不符合要求，
所以a=-1.
(2)證明:設
設，
所以，
所以
即，
所以函數在區間上單調遞增；
(3) 對于區間上的每一個值，不等式恒成立,
即,由(2)知在[3,4]上是增函數，所以當x=3時，取得最小值，最小值為
所以.
點評：函數是奇偶性可知f(-x)+f(x)=0恒成立，這是求解析式參數的基本方法.
復合函數單調性的證明可先證明內函數的單調性，再根據外函數的單調性證明即可，同學們要認真體會本小題的證法.
不等式恒成立問題在參數與變量能分離的情況下，最好分離參數，然后轉化為函數最值求解.